Get Analysis I: Eine Einführung in die Mathematik des Kontinuums PDF

By Daniel Grieser

ISBN-10: 365805946X

ISBN-13: 9783658059460

ISBN-10: 3658059478

ISBN-13: 9783658059477

Entdecken Sie die höhere Mathematik für sich: used to be sind die komplexen Zahlen, wie steht es mit der Unendlichkeit, ist 0,999…=1 und used to be steckt hinter der berühmten Eulerschen Formel? Mit diesem kompakten Lehrbuch der research werden Sie dies und vieles mehr verstehen und sich dabei die Grundlagen für das Studium der Mathematik und der Naturwissenschaften aneignen. Das Buch ist aus dem beliebten, in Zusammenarbeit mit Studierenden entstandenen Skript des Autors entstanden und unterstützt Sie besonders beim Übergang von der Schule ins Studium. Mathematische Präzision gepaart mit anschaulichen Erklärungen und motivierenden Beispielen - das wird dieses Buch zu Ihrem ständigen Begleiter machen.

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Beweis Fixiere zunächst n ∈ N und a  , . . , a n ∈ Z, nicht alle gleich Null. Die Gleichung a n x n + a n− x n− + ⋅ ⋅ ⋅ + a  x + a  =  hat höchstens n Lösungen x, wie man in der Algebra zeigt. Nennen wir die Lösungsmenge M a  ,... ,a n . Die Menge der algebraischen Zahlen vom Grad höchstens n ist dann A n = ⋃ a  ,... ,a n M a  ,... ,a n , wobei die Vereinigung über alle (a  , . . , a n ) ∈ Zn+ ∖{(, . . , )} läuft. 2(2) abzählbar. 2(2) abzählbar. Die Menge der transzendenten Zahlen ist T = R∖A.

5 Übungen Übung 2-1 [1] Seien a, b, c beliebige Elemente eines Körpers. Beweisen Sie: (1) a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c (2)  ⋅  = , wobei  ∶=  + ,  ∶=  +  +  +  (3) (−a)− = −(a − ) für a =/ . Übung 2-2 [1] Seien a, b, c, d beliebige Elemente eines Körpers. Beweisen Sie (a +b)⋅(c +d) = a ⋅c + a ⋅d + b ⋅ c +b ⋅d , d. : Um ein Produkt zweier Summen zu bilden, bildet man alle möglichen Produkte aus einem Summand der ersten Summe mit einem Summanden der zweiten Summe und addiert diese. 7(4).

10 Definition Für x ∈ R sei der Betrag von x wie folgt definiert: ⎧ ⎪ ⎪ x ∣x∣ ∶= ⎨ ⎪ ⎪ ⎩−x falls x ≥  falls x <  Der Abstand zweier Zahlen x, y ∈ R ist definiert als ∣x − y∣. Offenbar ist immer ∣x∣ ≥ . Zum Beispiel ist ∣∣ = , weil  > , und ∣ − ∣ = −(−) = , weil − < . 11 Satz (Eigenschaften des Absolutbetrags) Für x, y, z ∈ R gilt: (1) (2) (3) (4) (5) ∣x∣ ≤ y ⇔ −y ≤ x ≤ y ⇔ (x ≤ y) ∧ (−x ≤ y) ∣x ⋅ y∣ = ∣x∣ ⋅ ∣y∣ ∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣ Dreiecksungleichung ∣x − z∣ ≤ ∣x − y∣ + ∣y − z∣ ∣x − y∣ ≥ ∣x∣ − ∣y∣ Umgekehrte Dreiecksungleichung Ungleichung (4) wird ebenfalls Dreiecksungleichung genannt.

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Analysis I: Eine Einführung in die Mathematik des Kontinuums by Daniel Grieser


by Ronald
4.4

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